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多重網(wǎng)格法是求解偏微分方程數(shù)值解的有效方法之一，其計(jì)算工作量僅與網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)的一次方成正比，并且收斂速度與網(wǎng)格規(guī)模大小無關(guān)，具有收斂速度快和計(jì)算工作量少等優(yōu)點(diǎn)，從而特別適合應(yīng)用于大型、超大型工程數(shù)值計(jì)算問題中。將多重網(wǎng)格方法引入到巖體力學(xué)有限元分析領(lǐng)域，對于解決巖石力學(xué)工程實(shí)踐中不斷出現(xiàn)的大規(guī)模科學(xué)計(jì)算問題，如整個(gè)地下礦山大區(qū)域范圍礦床開采的模擬與方案優(yōu)化，長大隧道施工過程的三維有限元分析等，提高巖石力學(xué)有限元數(shù)值模擬的效率、精度以及相應(yīng)工程領(lǐng)域的管理決策水平，無疑具有較大的科學(xué)和技術(shù)經(jīng)濟(jì)意義。
多重網(wǎng)格法分為幾何多重網(wǎng)格法與代數(shù)多重網(wǎng)格法兩類，利用幾何多重網(wǎng)格方法求解巖石力學(xué)有限元方程時(shí)首先要求產(chǎn)生一系列相互嵌套的有限元網(wǎng)格，并預(yù)知各層幾何網(wǎng)格信息。當(dāng)求解區(qū)域復(fù)雜或者由細(xì)網(wǎng)格不均勻地給出粗網(wǎng)格時(shí)，應(yīng)用幾何多重網(wǎng)格法都會(huì)遇到困難，有時(shí)甚至很難選取有效的松弛算了。其次，幾何多重網(wǎng)格法對于計(jì)算區(qū)域內(nèi)介質(zhì)材料特性非均質(zhì)或不連續(xù)的情形，在形成粗網(wǎng)格時(shí)也很不方便。眾所周知，巖體是非連續(xù)、非均質(zhì)的介質(zhì)，當(dāng)使用有限元模擬開挖、充填和錨噴支護(hù)等不同的工況時(shí)，在有限元分析的過程中，巖體結(jié)構(gòu)物的幾何形狀和計(jì)算區(qū)域的材料參數(shù)基本上是一個(gè)不斷變化的復(fù)雜過程，因此基于幾何網(wǎng)格的幾何多重網(wǎng)格法在巖體力學(xué)有限元分析中的應(yīng)用存在很大的局限性。
代數(shù)多重網(wǎng)格分析方法(AMC7)是利用幾何多重網(wǎng)格法的思想建立起來白動(dòng)求解線性代數(shù)方程組的一種迭代方法，但是兩者具有不同的特性，幾何多重網(wǎng)格法必須利用問題的幾何結(jié)構(gòu)：如網(wǎng)格、定義在網(wǎng)格上的算了、預(yù)先確定的獲得粗網(wǎng)格的方法等;而代數(shù)多重網(wǎng)格僅僅利用方程組的系數(shù)矩陣，從網(wǎng)格剖分的代數(shù)結(jié)構(gòu)出發(fā)白動(dòng)形成虛擬的粗細(xì)網(wǎng)格，不需明確各層網(wǎng)格的幾何和物理意義，代數(shù)多重網(wǎng)格法的思想首先由Brandt、McCormic和Ruge提出，經(jīng)過Ruge和Stuben等人的發(fā)展，已初步形成比較成熟的理論，但到目前為止，對此方法的研究多限于數(shù)學(xué)界的專家們。本研究將這一方法引入到工程科學(xué)計(jì)算領(lǐng)域，討論代數(shù)多重網(wǎng)格方法在巖體力學(xué)線彈性有限元分析中的應(yīng)用問題，提出了相應(yīng)的粗化策略與插值算了，并研制了適于巖體力學(xué)線彈性有限元求解的代數(shù)多重網(wǎng)格求解器。數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果表明：代數(shù)多重網(wǎng)格算法是高效的、適用的，較直接法和其他常用迭代方法具有較大的優(yōu)越性。
為了說明代數(shù)多重網(wǎng)格算法在巖石力學(xué)有限元分析中的數(shù)值計(jì)算效率，且減少數(shù)據(jù)準(zhǔn)備工作量，設(shè)計(jì)了均質(zhì)各向同性條件下原巖白重應(yīng)力場的有限元模擬算例。具體試驗(yàn)方案為：有限元模型高度方向取80米，寬度為100米，在計(jì)算過程中僅考慮體力，計(jì)算參數(shù)分別為：E=10000MPa，a=0.25巖體容重P取2700kg/m3，然后保持有限元求解的區(qū)域不變，在模型范圍內(nèi)不斷改變單元剖分方式，以得到不同規(guī)模的有限元方程。本次試驗(yàn)共采用了8種不同的剖分方案，各方案的單元數(shù)目詳見表，然后采用代數(shù)多重網(wǎng)格法完成了各方案的有限元計(jì)算，所有各方案的計(jì)算結(jié)果均收斂于解析解。為了進(jìn)行比較研究，對上述各方案的模擬同時(shí)采用了直接法一改進(jìn)的喬列斯基分解法((LU分解)和單層網(wǎng)格迭代法一共轆梯度法(CG法)進(jìn)行了求解。各種求解方法所用的CPU時(shí)問，直接法與代數(shù)多重網(wǎng)格法以及共轆梯度法與代數(shù)多重網(wǎng)格法所消耗CPU時(shí)問之比與單元數(shù)之問關(guān)系。
當(dāng)求解的有限元規(guī)模較小時(shí)，代數(shù)多重網(wǎng)格法求解效率不明顯，直接法與共轆梯度法所消耗的CPU時(shí)問與代數(shù)多重網(wǎng)格法相當(dāng)，但隨著解題規(guī)模的擴(kuò)大，代數(shù)多重網(wǎng)格法在數(shù)值效率上具有明顯的優(yōu)越性。比如，當(dāng)解題規(guī)模2500增加到13924時(shí)，直接法消耗的CPU時(shí)問比從1.77倍急速增加到11.869倍，與單層網(wǎng)格迭代法相比，共轆梯度法消耗的CPU時(shí)問比也從1.07倍上升到1.93倍。隨著有限元單元數(shù)目的增加，代數(shù)多重網(wǎng)格法消耗的CPU時(shí)問增長率要遠(yuǎn)小于直接法，也低于共轆剃度法。因此，代數(shù)多重網(wǎng)格有限元法對于分析大型、超大型巖石力學(xué)工程問題比直接法和其他單層網(wǎng)格迭代法具有較明顯的優(yōu)越性。
研究了應(yīng)用代數(shù)多重網(wǎng)格方法求解巖體力學(xué)有限元方程的問題，論述了基于單元聚集和能量極小意義下相應(yīng)的網(wǎng)格粗化策略與插值、限制方法，并給出了具體的代數(shù)多重網(wǎng)格算法。數(shù)值試驗(yàn)表明，(a)使用代數(shù)多重網(wǎng)格法求解巖體力學(xué)有限元方程，具有較高的收斂精度和較好的數(shù)值效率，(b)當(dāng)求解的有限元規(guī)模較小時(shí)，代數(shù)多重網(wǎng)格法求解效率不明顯，但隨著解題規(guī)模的擴(kuò)大，代數(shù)多重網(wǎng)格法在數(shù)值效率上較直接法和其他單層網(wǎng)格迭代法具有明顯的優(yōu)越性。代數(shù)多重網(wǎng)格法具有存貯量小、收斂精度高和計(jì)算時(shí)問少等優(yōu)點(diǎn)，本研究將代數(shù)多重網(wǎng)格方法引入到巖體力學(xué)有限元計(jì)算領(lǐng)域，對于解決巖石力學(xué)工程實(shí)踐中不斷出現(xiàn)的大規(guī)模科學(xué)計(jì)算問題，提高巖石力學(xué)有限元數(shù)值模擬的效率、精度以及相應(yīng)工程領(lǐng)域的管理決策水平，具有較大科學(xué)和技術(shù)經(jīng)濟(jì)意義。
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